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物理酷炫動(dòng)圖:表面張力,“膜”的力量

來源:果殼 瀏覽 1977 次 發(fā)布時(shí)間:2022-06-14

膜在生活中可是見得太多了,大家對(duì)膜都非常熟悉,水滴表面、肥皂泡等都是常見的“膜”。但是你了解膜背后的理論嗎?今天,我們就一起來提高姿勢(shì)水平,學(xué)習(xí)一下“膜”的力量——表面張力。


首先,什么是表面張力?


要解釋表面張力,我們首先要走進(jìn)微觀世界,看看那些液體分子之間是如何互動(dòng)的:



現(xiàn)在我們選一個(gè)處于液體內(nèi)部的水分子,對(duì),就你,最萌的那個(gè):



因?yàn)闊o論往哪個(gè)方向看,看到的都是相同密度的水分子,所以吸引力和壓強(qiáng)對(duì)于它來說都是平衡的。


現(xiàn)在,讓我們把上半部分的水換成空氣:



假設(shè)上下兩部分的壓強(qiáng)相同(壓強(qiáng)不同的情況將在第二節(jié)介紹),由于空氣對(duì)水分子的吸引力小于水分子之間的吸引力,所以位于表面的水分子會(huì)受到指向液體內(nèi)部的力,一部分水分子被拉進(jìn)液體內(nèi)部,表面層的水分子開始變稀疏,直到吸引力減弱到和空氣接近時(shí)趨于平衡。表面層水分子的間距大于r0,因此吸引力占上風(fēng):




表面張力就是液體表面層水分子之間的吸引力(不是垂直于表面把水分子往里拉的那個(gè)力)。這個(gè)力使液體表面像一個(gè)繃緊的橡皮膜,表面張力系數(shù)σ的第一種定義就是:作用在液面單位長(zhǎng)度上的張力的大小,單位為N/m。



具有“橡皮膜”一般特性的肥皂水液膜。戳破一邊后,另一邊在表面張力的作用下迅速回縮。錄制者:Jubobroff


垂直于液面的拉力使表面的水分子具有了勢(shì)能,稱為表面自由能(不引起混淆時(shí)可簡(jiǎn)稱為表面能)。當(dāng)你克服表面張力擴(kuò)大液體的表面積時(shí),實(shí)際上是做功提升一部分原本位于內(nèi)部的水分子來到表面(相應(yīng)的,縮小表面積可對(duì)外做功),這樣就有了表面張力系數(shù)σ的第二種定義:?jiǎn)挝幻娣e的表面能,單位J/m2。


這兩種定義是等價(jià)的,以下我們既可以通過分析表面張力得出結(jié)論,也可以通過液體“希望”自己表面能最小的角度得出相同的結(jié)論。


膜為什么這樣彎


如果界面兩側(cè)有氣壓差,膜就會(huì)彎曲以平衡氣壓差,氣壓高的一側(cè)會(huì)使膜向氣壓低的一側(cè)凸出,這就是吹泡泡的原理。


什么,你說吹泡泡的原理誰不知道?那請(qǐng)你解釋一下,當(dāng)一大一小兩個(gè)肥皂泡被管道連通時(shí),為什么是小泡泡把氣吹進(jìn)了大泡泡里?



錄制者:vulgarisation


這個(gè)現(xiàn)象用表面能解釋比較容易:在表面張力系數(shù)不變的情況下,合并成一個(gè)大泡泡的表面積比兩個(gè)小泡的總表面積小。如果要從力的角度來解釋,需要推導(dǎo)彎曲界面兩側(cè)的壓強(qiáng)差(楊-拉普拉斯公式)。在這里給出一個(gè)比較簡(jiǎn)單的推導(dǎo)方式:



假設(shè)膜在x的方向彎曲,曲率半徑為r,作用在一個(gè)微小的長(zhǎng)度dy上的表面張力F=σdy,sinθ≈dx/r,指向球內(nèi)的合力為Fsinθ=σdxdy/r(沒有乘2是因?yàn)槊織l邊的力被相鄰兩個(gè)面元共用),這一力由壓強(qiáng)差平衡,除以面積dxdy得壓強(qiáng)差為σ/r。對(duì)于球面x和y方向都彎,故球內(nèi)壓強(qiáng)比球外大2σ/r(對(duì)于肥皂泡因?yàn)橛袃蓪咏缑孢€要再乘2)。


大概意思就是,這個(gè)膜彎曲得越厲害,合力向下的分量就越大,說明壓強(qiáng)差越大。因此,在外部氣壓相同的情況下,半徑越小的泡反而意味著更大的內(nèi)部壓強(qiáng),使空氣從小泡泡流向大泡泡。


而當(dāng)半徑為零的時(shí)候,則需要無窮大的壓強(qiáng)差。這個(gè)結(jié)論看似沒什么用(因?yàn)閷?shí)際的膜肯定有一定厚度),但是如果是從純凈的水中憑空產(chǎn)生一個(gè)氣泡(或者從純凈的蒸氣中凝結(jié)一個(gè)水滴),這一性質(zhì)的確會(huì)阻礙氣泡(或水滴)的產(chǎn)生,這就是超純凈的水可以高于沸點(diǎn)也不沸騰的原因。但只要存在哪怕一點(diǎn)點(diǎn)的小雜質(zhì),就會(huì)打破無窮大壓強(qiáng)差的需求而立刻產(chǎn)生氣泡,氣泡室便是基于此原理來探測(cè)微小粒子的。




相應(yīng)的,過冷蒸氣低于凝結(jié)點(diǎn)也不凝結(jié),基于此原理可以制成讓帶電粒子現(xiàn)形的云室。更多閱讀:高考動(dòng)圖:物理篇


搞個(gè)大泡泡——怎么斷了?


我想吹個(gè)大泡泡,可是為什么一拉長(zhǎng)就容易斷呢?


錄制者:ExtremeBubblesInc


這一現(xiàn)象稱為普拉托-瑞利不穩(wěn)定性(Plateau–Rayleigh instability)。我們?cè)谥鶢罱缑嫔霞右粋€(gè)波長(zhǎng)為λ的擾動(dòng),橫截面上的曲率變化rx是促進(jìn)柱的分裂的,但縱截面上ry的曲率變化會(huì)阻礙分裂,后者的效應(yīng)隨λ變長(zhǎng)而減弱。




定量的結(jié)論是,波長(zhǎng)大于柱徑的擾動(dòng)會(huì)不斷放大,導(dǎo)致柱面斷裂。不僅長(zhǎng)泡泡容易斷開,原本連續(xù)的細(xì)水流在下落中也很容易在擾動(dòng)之下斷裂,形成一系列小水滴。有很多人研究這個(gè)現(xiàn)象,不過不是為了吹泡泡,而是為了設(shè)計(jì)噴墨打印機(jī)。



從水龍頭流出的水柱(拍攝者:LePtC)




親水,疏水,接觸角


在氣體和液體之外,現(xiàn)在我們?cè)偌尤胄碌慕巧腆w表面。玻璃的表面對(duì)水分子非常有吸引力(雖然玻璃的主要成分是二氧化硅,但它的表面通常會(huì)因?yàn)閮r(jià)態(tài)不飽和而結(jié)合很多羥基)。如果水滴碰到的界面是玻璃,就會(huì)出現(xiàn)跟空氣相反的情況:接觸面的水分子比平衡時(shí)更擠,表面張力是擴(kuò)張的,表面能是負(fù)的,整坨水滴會(huì)希望自己跟玻璃的接觸面積越大越好(同時(shí)跟空氣接觸面積越小越好),形成特定的接觸角θ。這個(gè)角越小,意味著固體表面的親水性越強(qiáng)。



親水性就是處女座的噩夢(mèng):水甩不干凈,倒水的時(shí)候貼壁灑出來等等:



惱人的茶壺效應(yīng)。圖片來自一篇得過搞笑諾獎(jiǎng)的論文。


這時(shí)就需要疏水性來拯救世界了。水分子除了對(duì)空氣分子不感興趣外,對(duì)非極性的烴、油、脂類都不是很感興趣,此外將表面變粗糙也可增大表觀接觸角(Cassie's law)。雨具,自潔玻璃,以及阻止隨地小便的涂層都用到了疏水材料(更多閱讀:酷炫動(dòng)圖(二十七):水桑,你走開?。?。



疏水的材料甚至能被水面托住——如果表面的“膜”沒有被破壞的話。錄制者:Grant Thompson-"The King of Random"


零重力飲水杯


如果水滴遇到的親水材料不是平面而是細(xì)管或狹縫的話,就會(huì)看到毛細(xì)現(xiàn)象。


講到這里,我們已經(jīng)有三種方法來解釋這個(gè)現(xiàn)象了:①水想增加自己跟玻璃管內(nèi)壁的接觸面積,直到表面能的消耗不足以補(bǔ)償重力勢(shì)能;②固液接觸面的負(fù)張力把液體向上拉;③凹液面會(huì)降低液體內(nèi)的壓強(qiáng),從而外部氣壓把液體壓上來。三種方法都能推導(dǎo)出相同的結(jié)論,下圖中給出了第一種推法。



(利用毛細(xì)現(xiàn)象能做出永動(dòng)機(jī)嗎?當(dāng)然并不能。關(guān)于這個(gè)問題在這篇松鼠會(huì)文章中已有講解。)


由公式可見,g=0時(shí)h=∞,失重環(huán)境下液體會(huì)無限上升,直到占滿整個(gè)玻璃管為止。實(shí)際上不一定非要是封閉的吸管,做一個(gè)尖銳的棱也可以讓液體無限上升:



這是一段國(guó)際空間站上進(jìn)行的演示,原視頻來自:collectSPACE。完整視頻及解說搬運(yùn)在此


如圖,當(dāng)角φ<90°-接觸角θ時(shí),形成的液面是凹的,可降低縫內(nèi)的壓強(qiáng),所以外部氣壓會(huì)把液體壓進(jìn)棱里。



利用這種構(gòu)造,NASA發(fā)明出了可以在零重力環(huán)境使用的咖啡杯。在毛細(xì)現(xiàn)象的作用下,液體不會(huì)亂跑,還能自動(dòng)送到人們嘴邊。如今,最新款的杯子長(zhǎng)這樣:




宇航員Kjell Lindgren的試喝畫面。


這款杯子是用3D打印制造的。想要一個(gè)?制作它的公司在kickstarter上給原版杯子開出了1500美刀的價(jià)格……用模具生產(chǎn)玻璃版倒是成本會(huì)下降很多,只要35美元——然而,這項(xiàng)眾籌并沒有成功……(嗯,我選擇繼續(xù)嘬吸管……)


其實(shí),類似的現(xiàn)象在地球上也能觀察到——那些袋裝辣條之類的小零食,袋口處總是有很多油(此處要感謝吃貨 donizyo的提議)。經(jīng)實(shí)驗(yàn),塑料袋雖然對(duì)水不怎么親,但對(duì)油的親和力很強(qiáng):




油滴(左)與水滴(右)在塑料袋上形成的接觸角。拍攝者:LePtC


實(shí)驗(yàn)用的是集郵迷你塑料袋,水注入袋子后鼓成一個(gè)饅頭形,完全沒有上升的意愿。



自來水注入塑料袋。拍攝者:LePtC


換成油之后驚了,這貨跑得比誰都快,即使把袋口撐得很開,也依然有油一路爬升到袋口:



食用油注入塑料袋。拍攝者:LePtC


NASA的初代零重力杯子誕生于2008年,他們這么晚才發(fā)明出這玩意兒,一定是因?yàn)橥鈬?guó)沒有辣條……


(文中漫畫及示意圖均為作者制圖。編輯:窗敲雨)


文章題圖:在太空中享用咖啡的宇航員Samantha Cristoforetti,圖片來自她的推特賬號(hào)。


作者:LePtC


來源:果殼