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極復(fù)雜問題背后的簡(jiǎn)潔數(shù)學(xué)

來源:ZAKER 瀏覽 547 次 發(fā)布時(shí)間:2022-09-21

想象一下,如果有一個(gè)微微彎曲的軟質(zhì)曲面,類似一片隱形眼鏡,而我們想把它壓平,它的表面就會(huì)出現(xiàn)一些"多出來"的材料,進(jìn)而產(chǎn)生褶皺。但是,這些褶皺會(huì)在什么地方出現(xiàn)?它們又會(huì)以怎樣的方式排列?這些我們都不清楚。


褶皺背后的科學(xué)原理通常被認(rèn)為非常復(fù)雜,同時(shí),當(dāng)物體出現(xiàn)褶皺后,它的一些性質(zhì)往往也會(huì)改變,如果想用模型模擬它們,情況也在不斷變化。


但近期,一項(xiàng)新研究利用實(shí)驗(yàn)、模擬外加數(shù)學(xué)證明發(fā)現(xiàn),通過一些簡(jiǎn)單的幾何學(xué),就有機(jī)會(huì)預(yù)測(cè)這些褶皺的模式,包括它們將在哪里形成,以及在某些情況下它們的方向。論文已于近期發(fā)表在《自然·物理學(xué)》上。


探索幾何原理


對(duì)一個(gè)曲面來說,曲率可以簡(jiǎn)單理解成衡量它"有多彎"的標(biāo)準(zhǔn)。曲率可以是正的,比如圓球形狀的棒球或地球儀,它也可以是負(fù)的,比如馬鞍的形狀。還有一些是平面材料,就像我們熟悉的一張紙。


在這項(xiàng)研究中,團(tuán)隊(duì)把重點(diǎn)放在具有正曲率和負(fù)曲率的彎曲外殼,重點(diǎn)分析材料的物理形狀和曲率對(duì)褶皺的模式可能產(chǎn)生多大的影響。


他們?cè)谝粋€(gè)像球體或馬鞍形狀的弧形玻璃表面上放置一塊平坦的塑料片,然后旋轉(zhuǎn)它,使塑料片變薄并塑形。然后,他們把塑料片放在水面上,水的張力可以提供一種穩(wěn)定的壓扁的力,使表面形成褶皺。


對(duì)于每種形狀,研究人員會(huì)根據(jù)研究出的基本原理來解決理論問題,然后得出預(yù)測(cè)結(jié)果?;谶@些發(fā)現(xiàn),他們隨后又進(jìn)行了模擬,將各個(gè)形狀和相關(guān)參數(shù)輸入一個(gè)計(jì)算機(jī)程序。


通過大量模擬和實(shí)驗(yàn),以及不斷完善過程并擴(kuò)展原始理論,團(tuán)隊(duì)逐步發(fā)現(xiàn),通過應(yīng)用一些直接的幾何原理,他們就可以提前預(yù)測(cè)出褶皺的模式,以及一個(gè)被稱為"有序"褶皺的子集的皺紋走向。


青色實(shí)線表示預(yù)測(cè)的褶皺模式。沒有這些線的區(qū)域是無序的。對(duì)于馬鞍形(曲率κ<0)的情況,褶皺向白色軸線方向衰減。對(duì)于球形(κ>0)的情況,褶皺向邊界衰減。青色虛線代表預(yù)測(cè)中使用的理想形狀。(圖/Tobasco,I.et al.,2022)

比如,對(duì)于像上圖這樣相對(duì)簡(jiǎn)單的形狀,當(dāng)曲率為正的時(shí),形狀外部部分將包含有序褶皺,這些褶皺有組織、有秩序地發(fā)展。同時(shí),在新劃分出的內(nèi)部多邊形里(白色實(shí)線范圍內(nèi)),褶皺仍舊會(huì)形成,但它們是無序且不可預(yù)測(cè)的。


簡(jiǎn)潔而美麗的規(guī)則


研究人員認(rèn)為,這項(xiàng)成果的最大魅力之一在于,它非常簡(jiǎn)潔。褶皺背后的理論相當(dāng)復(fù)雜,在實(shí)驗(yàn)和模擬中觀察到的許多模式都不簡(jiǎn)單。但事實(shí)證明,在一定的條件下,仍可以用一套相對(duì)簡(jiǎn)潔的規(guī)則來預(yù)測(cè)褶皺的布局。


這很有啟發(fā)性。它也意味著,現(xiàn)在科學(xué)家有了一種快速、有效的方法來設(shè)計(jì)這類褶皺的模式。特別是對(duì)于那些具有允許粘附或流體流動(dòng)等功能的褶皺表面。比方說,空氣中存在水分。水在山谷和山丘不平的表面上會(huì)產(chǎn)生不同行為。通過控制褶皺模式,也許就可以影響水的凝結(jié)方式。


研究人員希望繼續(xù)深入了解這些復(fù)雜的紋理表面,比如,如何從那些無序的褶皺中提取模式,為什么有序和無序的域可以共存,等等。


但無論如何,發(fā)現(xiàn)一個(gè)復(fù)雜問題的簡(jiǎn)潔且優(yōu)美的解決方案,這本身就非常令人興奮。