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一滴水緩慢落到非常光滑的平面上,接觸面積會(huì)有多大?

來源:知乎 阿黃sweetgirl 瀏覽 1560 次 發(fā)布時(shí)間:2021-07-29

此問題中,其實(shí)絕對(duì)光滑不太合適,一般可以考慮原子級(jí)別的光滑就已經(jīng)可以使用(或可以看做沒有接觸角滯后現(xiàn)象)。為了讓解析式簡(jiǎn)便,此題轉(zhuǎn)化為:


如果將體積為V的液體水滴落到原子級(jí)別光滑的光滑固體表面上,設(shè)固體表面對(duì)水的接觸角為θ,那么液滴穩(wěn)定后,液滴與固體之間的接觸面積S有多大?


下面我僅僅使用參數(shù)V和θ,以及水的物性常數(shù)找出S的簡(jiǎn)單解析式。


首先,此題必須分為兩種情形。第一種,是液體V很小時(shí),此時(shí)表面張力占主導(dǎo)地位。此解法宮非前輩已經(jīng)給出,但是其解析式不夠簡(jiǎn)化。因此我進(jìn)一步加以簡(jiǎn)化。當(dāng)表面張力占主導(dǎo)時(shí),液滴成完美的球缺狀,如圖1所示。

圖1液體體積很小時(shí),毛細(xì)作用力占主導(dǎo)的情形,液滴呈球形


此時(shí)根據(jù)球的體積公式,以及簡(jiǎn)單的三角函數(shù)變換,就可以得出S與V和θ的關(guān)系,具體推導(dǎo)過程如圖2所示。

圖2接觸面積S的推導(dǎo)過程


此時(shí)可以看出,S與V的2/3次方是正比例關(guān)系。對(duì)于自然界任何光滑的表面,接觸角處于0到122°的范圍內(nèi),可以繪出S與θ的關(guān)系,如圖3所示。

圖3接觸面積隨著接觸角的變化關(guān)系


上圖是接觸角從5°到120°范圍內(nèi)的接觸面積的變化關(guān)系,基本上涵蓋了自然界中的大多數(shù)物質(zhì)的光滑固體表面。


然后再是第二種情形,就是液體體積很大,此時(shí)表面張力很弱,重力占主導(dǎo)地位的場(chǎng)景。此時(shí),液滴在光滑固體表面的呈現(xiàn)出扁平狀。如圖4所示。

圖4液體體積很大的情形


有意思的是,已經(jīng)有前人對(duì)這種情形做過詳細(xì)的受力分析。得出只要接觸角一定,此時(shí)無論加多少水,液體的厚度e都不會(huì)增加,只會(huì)增加鋪展的面積。其厚度e的表達(dá)式為:

式中,γ為表面張力,p為密度,g為重力加速度。


由于此時(shí),表面張力影響很小,液膜可以看成均勻的厚度,所以滿足


V=Se


從而可以推出:

圖5液體接觸面積的推導(dǎo)公式。


至于具體的推導(dǎo)e的過程,可以見如下分析:



參考文獻(xiàn):Capillarity and Wetting Phenomena書籍。